반달가면 이글루에서 백업 - http://bahndal.egloos.com/644035 (2020.11.25)
이전에 정리했던 "2020년 미국 대선 관련, 미시건(Michigan)주 개표결과 분석 - 시바 아야두라이(Shiva Ayyadurai)"에서 이어지는 글. 여기서 다루는 내용을 이해하려면 우선 앞의 글을 정독하는 것이 좋겠다.
여기서 살펴보려는 동영상은 앞의 글에서 시바 아야두라이(Shiva Ayyadurai) 박사가 제시한 미시건(Michigan)주 개표결과 그래프의 경향성이 부정선거임을 나타낸다고 보기 어렵다는 취지의 주장을 담고 있다. 매트 파커(Matt Parker)라는 사람이 운영하는 "Stand-up Maths"라는 이름의 유튜브 채널이며, 아래의 동영상이다.
여기서 주장하는 주요 내용은 아래와 같다.
x축을 정당투표(straight party vote)의 공화당 득표율, y축을 개별후보투표(individual candidate vote)의 트럼프 득표율에서 공화당 득표율을 뺀 값으로 설정하여 각 프리싱트(precinct)의 개표 결과를 점으로 찍어서 그린 산점도(scatter plot)를 그렸을때 선형 반비례 경향이 나온다.
그런데, 동일한 카운티(county)에서 민주당과 바이든의 득표율을 가지고 산점도를 그려 보니 역시 마찬가지로 선형 반비례 경향을 보여준다. 대량으로 트럼프의 표를 바이든의 표로 옮기는 형태의 조작을 했다면 바이든의 산점도에서 뭔가 차이가 나타나야 할 것 같은데, 동일한 경향이다. 양쪽 후보 모두 비슷한 경향의 산점도를 보이므로 큰 문제가 없다는 것이다.
과연 이 주장은 맞는 말일까? 깊이 생각하지 않고 들으면 그럴듯할 수도 있겠다. 그런데, 조금 자세히 따져 보면 얘기는 달라진다.
미시건주의 어느 카운티에 속한 "a프리싱트"와 "z프리싱트"를 가정해 보자.
a프리싱트는 공화당 우세 지역이라서 정당투표에서 공화당 득표율이 80%가 나왔다. 트럼프 그래프에서 a프리싱트의 x축 위치는 80% 지점이 될 것이다. 그렇다면 바이든 그래프에서 a프리싱트의 x축 위치는 어디가 될까? 20% 지점이 된다.
z프리싱트는 민주당 우세 지역이라서 정당투표에서 공화당 득표율이 20%가 나왔다. 트럼프 그래프에서 z프리싱트의 x축 위치는 20%에, 바이든 그래프에서 z프리싱트의 x축 위치는 80% 지점이 된다.
즉, 트럼프 그래프와 바이든 그래프의 x축에서 특정 프리싱트에 해당하는 점은 서로 반대쪽 영역에 위치하게 된다.
이제 시바 아야두라이 박사가 제시한 가중경쟁 알고리즘(weighted race algorithm)을 적용해서 선거조작을 한다고 생각해 보자. a프리싱트는 공화당 우세지역이므로 대량의 트럼프 득표를 바이든으로 옮겼다. 이렇게 하면 정당 득표수에 비해서 트럼프 개인 득표수가 줄어들게 되므로 트럼프 그래프에서 a프리싱트에 대응하는 점은 y축 위치가 아래로 이동한다. x=80% 지점에 있던 a프리싱트 좌표의 y축값이 아래로 내려갔다.
그렇다면 바이든 그래프에서 a프리싱트에 대응하는 점은 어떻게 될까? 바이든 개인 득표수가 증가하므로 이 점의 y축 위치는 위로 이동한다. x=20% 지점에 있던 a프리싱트 좌표의 y축값이 위로 올라갔다.
z프리싱트는 민주당 우세 지역이라서 가중경쟁 알고리즘을 적용하지 않는다. 따라서 양쪽 그래프에서 z프리싱트에 대응하는 점의 위치는 변화하지 않는다. z프리싱트의 x축 위치는 트럼프 그래프에서 x=20%, 바이든 그래프에서 x=80% 지점이다.
조작을 적용하면 트럼프 그래프에서 x축값이 큰 점들은 y축값이 아래로 내려가고(감소하고), 바이든 그래프에서 x축값이 작은 점들은 y축값이 위로 올라간다(증가한다). 양쪽 후보의 그래프가 둘 다 선형 반비례 경향을 나타내는 것이다.
다수의 프리싱트에서 약속이나 한 것처럼 이런 일이 벌어지면, 이것은 정상이라고 얘기할 상황이 아니라 조작을 의심해야 할 상황이다. 양쪽 후보의 산점도 경향이 비슷하기 때문에 문제가 없는 것이 아니라, 가중경쟁 알고리즘으로 조작을 하면 당연히 양쪽 후보의 산점도 경향이 비슷하게 나타난다.
동영상 후반부에는 y축을 득표율의 차이가 아니라 개별후보투표 득표율로 정의하여 그래프를 그려서 보여준다.
이 산점도는 트럼프와 바이든 둘 다 선형 비례 경향을 보여주고 있다. 공화당 득표가 많은 프리싱트에서는 트럼프 득표율도 높고, 민주당 득표가 많은 프리싱트에서는 바이든 득표율이 높아서 당연히 비례 경향을 보이기 때문에 문제가 없다고 주장한다.
그런데, 아야두라이 박사가 제시한 가중경쟁 알고리즘은 양쪽 득표율의 정비례 관계 자체를 뒤집는 것이 아니다. 득표율 비례관계의 기울기를 바꾸는 것이다.
공화당 우세 프리싱트에서 트럼프 득표율을 낮추고 바이든 득표율을 높이므로, 트럼프 그래프에서 x축값이 큰 영역의 점들은 아래로 내려오고 바이든 그래프에서 x축값이 작은 영역의 점들은 위로 올라간다. 따라서 기울기는 0보다는 커서 비례 경향은 유지하지만 기울기값은 실제보다 낮아진다.
1차 함수 y=mx+b를 가지고 세로축을 y 대신 y-x로 그래프를 그리면 어떻게 될까?
y = mx+b
y-x = mx+b-x = (m-1)x+b
기울기 m이 1보다 작으면 음수(-)가 되어 반비례하는 경향이 나타난다. 가중경쟁 알고리즘에 의한 조작이 적용되면 비례관계의 기울기를 낮게 만들기 때문에 차이를 세로축으로 하여 그리면 반비례 경향도 그만큼 뚜렷해질 것이다.
설명은 "이러한 경향은 문제가 없으며 조작이 없다"는 식으로 하고 있지만, 조작이 없다고 단정하기엔 이르다. 게다가 민주당 절대우위 프리싱트가 잔뜩 몰려 있는 웨인 카운티(Wayne County)에서는 이러한 선형 반비례 경향이 아예 나타나지 않았다.
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